Okay, gut. Also, es ist heute die letzte Stunde und deswegen arbeiten wir heute mal hier mit Folien

ausschließlich und dem Handout, das haben sie dann ja hinterher auch zum Ausdrucken nochmal,

aber ich dachte, können Sie sich da was reinschreiben, wenn Sie Lust haben. Ich habe

es eben noch schnell gedruckt. Wir hatten ja eben letztes Mal nochmal gesprochen über

Möchigkeiten, Stoffgesetze eben herzuleiten und hatten dann eben für den Fall der Elastität

eben verschiedene Spezialfälle uns da angeguckt und zum Schluss auch nochmal gesehen, wie

sieht das aus, wenn ich das verknüpfe mit der Frage der Wärmeleitung, Thermoelastität.

Und heute würde ich eigentlich ganz gerne noch wenigstens einen kurzen Abriss geben,

wie wir denn jetzt all diese ganzen vielen Gleichungen, die wir da zusammengestellt haben,

wie man das zusammenbringen kann, um eben in so einem numerischen Lösungsverfahren

denn solche Aufgabenstellungen auch wirklich bearbeiten zu können. Weil eben die Lösung

all dieser Gleichungen ist eben in der Regel nur für ganz einfache Spezialfragestellungen

überhaupt noch analytisch möglich. So, gut. Und dazu müssen wir uns zunächst ganz, ganz,

ganz ein bisschen vielleicht daran erinnern, was denn an Aspekte der Variationsrechnung.

Und darum soll es also zunächst gehen. Ich will das wirklich nur so streifen und zu mehr

bleibt wahrscheinlich auch gar nicht Zeit. Stellen Sie sich mal Folgendes vor, wir bleiben

jetzt mal zunächst mal in 1D zunächst, okay? Und wir haben ein Lösungsgebiet, das sei

hier dieses 1D-Sinnale Gebiet von 0 bis 1 mit der Koordinate x. Und auf diesem Gebiet,

das wäre also was vorher in 3D unser kalligraphisches B war, suchen wir eine Lösung u von x, die

eben gewisse Gleichungen einfach löst. Das wäre hier mal aufgetragen, diese durchgezogene

Linie, das ist eine Funktion u von x, das sind die Lösungen von irgendeiner Aufgabenstellung,

die wir suchen, okay? Diese Funktion, die hat Randwerte an der Stelle x gleich 0 und x gleich

1, wollen wir mal der Einfachkeit halber unser Gebiet einfach zwischen 0 und 1 aufspannen,

das wären also diese Randwerte u0 und u1. Gut, dann haben wir genau das, was hier steht,

das ist also die wahre Lösung, die wir suchen mit diesen Randbedingungen an der Stelle 0

und an der Stelle 1. So, dann definieren wir zulässige Funktionen, solche Versuchsfunktionen,

sag ich mal. Das sind also alle die Funktionen, die folgendermaßen gestaltet sind, so wie

diese gestrichelte Linie, das sind also Funktionen, die also abweichen von der wahren Lösung überall,

bis auf einem Rand, am Rand stimmt sie genau mit der zusammen. Das kann ich dann eben schreiben

als diese Funktion w von x, das wäre die wirkliche Lösung, die ich aber ja leider noch nicht

kenne, plus irgendwie ein Alpha Vielfaches mal einer Funktion v und diese v, die Funktion

v, das ist jetzt eben gerade diese Differenz da zwischen der durchgezogenen und der gestrichelten

Linie, das nenne ich die Testfunktionen. Diese Testfunktion ist einfach nur ein anderer Begriff

für das, was wir als Mechanik, als virtuelle Verschiebung bezeichnet haben. Die müssen

jetzt im Wesentlichen hier die sogenannten homogenen Randbedingungen erfüllen. Das sehen

Sie da oben auch, also da muss die Differenz zwischen der gestrichelten und der durchgezogenen

Linie am Rand eben gerade null sein. Weiterhin habe ich jetzt hier, um erstmal gleich überhaupt

hinzuschreiben, wie sieht das Problem, was ist überhaupt das Problem, habe ich hier

nochmal diese Pfeilchen reingemalt, das können Sie sich vorstellen, das ist praktisch wie

so eine verteilte Längsbelastung für uns. Also wir wollen uns im Endeffekt gleich die

Gleichgewichtspfingung für den Start mal hinschreiben und die einzige Belastung, die

da vorkommt, ist ja in Längsrichtung und das sei also hier diese Funktion f. Und dann

haben wir praktisch drei verschiedene Möglichkeiten, unser Problem zu beschreiben. Stellen Sie

sich wirklich einfach jetzt mal vor, die Gleichgewichtsbügelung für den Start. Wir können das schreiben

als Differentialgleichung. Dann hätten wir also hier so etwas wie die Belastung, das

f, und hier das h-Strich, das entspricht praktisch dem, was wir vorher immer hatten, Divergenz

Sigma. Die Divergenz ist so eine Ableitung, das h hier entspricht dem Sigma dann. Und

das entspricht praktisch, wenn Sie sich ein bisschen umstellen, entspricht das einfach

sozusagen den verteilten Kräften minus Zeichen, habe ich da jetzt noch reingebastelt, also

es ist einfach ein bisschen abstrakt aufgeschrieben, ein Termin, der entspricht dem Divergenz Sigma,